Australijos matematikas pasiūlė naują sprendimą vienai iš sudėtingiausių matematikos problemų. Šis proveržis gali pakeisti tai, kaip mokslininkai žvelgia į daugianarių lygčių sprendimą ir teorinėje, ir praktinėje matematikoje.
Daugianariai, tai lygtys, kuriose kintamasis pakeliamas į įvairius laipsnius. Paprasta jų forma galėtų būti tokia: vienas plius keturi kartai x minus trys kartai x kvadratu lygu nuliui. Nors tokie pavyzdžiai gali atrodyti mokykliniai, iš tiesų daugianarių sprendimas naudojamas labai plačiai, nuo astronominių skaičiavimų iki programavimo algoritmų.
Tačiau matematikai jau kelis šimtmečius susiduria su sunkumu: kai lygtyje x pakeliamas penktuoju ar dar aukštesniu laipsniu, nebeegzistuoja bendra sprendimo formulė. Tai buvo įrodyta XIX amžiaus pradžioje prancūzų matematiko Évariste’o Galois darbuose.
Naujas požiūris į seną problemą
Sidnėjaus Naujojo Pietų Velso universiteto profesorius Normanas Wildbergeris kartu su informatikos specialistu Deanu Rubine paskelbė apie naują būdą spręsti aukšto laipsnio daugianarius. Jų metodas paremtas naujų skaičių sekų panaudojimu ir nenaudoja vadinamųjų radikalų, t. y. kvadratinių ar kubinių šaknų.
Pasak profesoriaus, klasikinės formulės remiasi iracionaliais skaičiais, kurie iš esmės yra begalinės dešimtainės trupmenos. Tai reiškia, kad jų tikslus išraiškos negalime niekada gauti iki galo. Pavyzdžiui, kubinė šaknis iš septynių yra skaičius, kuris tęsiasi be pabaigos ir niekada nesikartoja. Tai matematinėje teorijoje sukelia problemų, ypač jei siekiama tikslių sprendimų.
Prof. Wildbergeris teigia, kad tokie skaičiai kelia filosofinių ir loginių klausimų, todėl vietoje jų siūlo naudoti racionalias struktūras, tokias kaip galių eilutės. Tai reiškia, kad sprendimas pateikiamas kaip begalinė kintamojo x laipsnių suma. Svarbiausia tai, kad šį sprendimą galima nutraukti pasirinktame taške ir gauti praktiškai pritaikomą artinį.
Išbandyta su istorine lygtimi
Vienas iš pirmųjų praktinių bandymų buvo atliktas su klasikine kubine lygtimi, kurią XVII amžiuje nagrinėjo Johnas Wallis. Šis pavyzdys ilgą laiką buvo naudojamas mokant Niutono metodo pagrindų. Naujas sprendimo būdas pasiteisino, gautas rezultatas buvo tikslus ir stabilus.
Tačiau svarbiausia yra tai, kad siūlomas metodas remiasi aiškia matematine logika ir naujais geometriniais ryšiais tarp skaičių. Skaičių sekos, kurias naudoja profesoriaus komanda, susijusios su kombinatorika, tai matematikos šaka, tirianti skirtingų elementų derinių skaičių.
Katalano skaičiai ir jų plėtinys
Katalano skaičiai yra žinomi daugeliui matematikų ir studentų. Jie parodo, kiek yra būdų padalinti daugiakampį į trikampius taip, kad linijos nesikirstų. Šie skaičiai naudojami ne tik teorinėje matematikoje, bet ir biologijoje, kompiuterinių algoritmų analizėje bei duomenų struktūrų projektavime.
Prof. Wildbergeris siūlo, kad jei šie skaičiai padeda išspręsti kvadratines lygtis, tai sudėtingesnėms lygčių formoms reikia sudėtingesnių jų analogų. Jo komanda sukūrė naują skaičių masyvą, kurį pavadino Geodu. Tai plėstinė Katalano skaičių versija, leidžianti žvelgti į daugiakampių padalijimus daugiamatėje erdvėje.
Plačios taikymo galimybės
Nors metodas atrodo teoriškai sudėtingas, jis gali būti naudingas praktikoje. Kompiuterinės programos, sprendžiančios sudėtingas matematines lygtis, galėtų naudoti šį metodą vietoje klasikinio, paremtu radikalais. Tai leistų kurti greitesnius ir tikslesnius algoritmus įvairiose srityse, nuo inžinerijos iki finansų sektoriaus.
Geodas tai tik pradžia
Profesorius Wildbergeris teigia, kad jų atrastas Geodas turi didžiulį potencialą ateičiai. Tai visiškai naujas skaičių masyvas, kuris, tikėtina, glūdi po jau žinomomis struktūromis, bet iki šiol nebuvo pastebėtas. Pasak jo, šis atradimas atveria duris į dar neištirtas kombinatorikos galimybes ir gali įkvėpti naujus tyrimus ateinančiais metais.
„Tai tik pradžia“, – sako profesorius. – „Šis darbas prikelia matematikos skyrių, kuris ilgą laiką buvo laikomas uždarytu. O mūsų atrastas Geodas gali atverti daugiau klausimų, nei turime atsakymų.“
Paieška archyve
